Question

【題目】已知函數f（x）=lg（ ）為奇函數．
（1）求m的值，并求f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并證明；
（3）若對于任意θ∈[0， ]，是否存在實數λ，使得不等式f（cos2θ+λsinθ﹣ ）﹣lg3＞0．若存在，求出實數λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=lg（ ）為奇函數，

∴f（﹣x）=﹣f（x）在定義域內恒成立，

即lg（ ）=﹣lg（ ），

即lg（ ）+lg（ ）=0，

則 =1，即1﹣m2x2=1﹣x2，在定義域內恒成立，

∴m=﹣1或m=1，當m=1時，f（x）=lg（ ）=lg1=0，

∴m=﹣1，此時f（x）=lg ，

由 ＞0，解得﹣1＜x＜1，

故函數的定義域是（﹣1，1）

（2）解：∵f（x）=lg ，﹣1＜x＜1，任取﹣1＜x1＜x2＜1，

設u（x）= ，﹣1＜x＜1，

則u（x1）﹣u（x2）=

∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴u（x1）﹣u（x2）＜0，∴u（x1）＜u（x2），即lgu（x1）＜lgu（x2），

∴f（x1）＜f（x2），即f（x）在定義域內單調遞增

（3）解：假設存在實數λ，使得不等式不等式f（cos2θ+λsinθ﹣ ）﹣lg3＞0成立，

即不等式f（cos2θ+λsinθ﹣ ）＞lg3=f（ ），

由（1），（2）知： ＜cos2θ+λsinθ﹣ ＜1 對于任意θ∈[0， ]，

即 ，當θ=0時成立；

當θ∈（0， ]時，令sinθ=t，則 ，

即 ，則

【解析】（1）根據函數奇偶性的條件建立方程關系，即可求m的值，（2）根據函數單調性的定義即可判斷函數f（x）的單調性；（3）利用三角函數姜不等式進行轉化，解三角不等式即可得到結論．