Question

設x=3是函數f（x）=（x²+ax+b）e^3-x的一個極值點．
（1）求a與b的關系式（用a表示b），
（2）討論f（x）的單調性；
（3）若函數f（x）在區間[-1，

3

2

]上存在零點，求a的取值范圍；
（4）設a＞0，g(x)=(a2+

25

4

)ex．若存在x₁，x₂∈[0，4]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數f（x）=（x²+ax+b）e^3-x（x∈R）的一個極值點是x=3．我們根據函數在某點取得極值的條件，易得f′（3）=0，進而構造方程求出a與b的關系式；
（2）消去b得到函數，然后求出導函數，分析函數在各個區間上的導數符號，即可得到答案．
（3）函數f（x）在區間[-1，

3

2

]上存在零點即（x²+ax+b）e^3-x=0在區間[-1，

3

2

]上有根，然后將a分離，研究等式另一側的值域即可求出a的范圍；
（4）根據g（x）=（a²+

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4

）e^x，利用導數法確定函數的單調性，再根據（1）的結論，我們可以構造一個關于a的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：（1）f′（x）=-[x ²+（a-2）x+b-a]e^3-x
由f′（3）=0，得-[3²+（a-2）3+b-a]e^3-x=0，即得b=-3-2a---（3分）
（2）f′（x）=-[x²+（a-2）x-3-2a-a e^3-x=-[x²+（a-2）x-3-3a]e^3-x
=-（x-3）（x+a+1）e^3-x
令f′（x）=0，得x₁=3或x₂=-a-1，
①由于x=3是極值點，所以3+a+1≠0，那么a≠-4----------（4分）
②當a＜-4時，x₂＞3=x₁，則f（x）增區間為（3，-a-1），減區間為 （-∞，3）（-a-1，+∞）--（5分）
③當a＞-4時，x₂＜3=x₁，f（x）增區間為（-a-1，3），減區間為（-∞，-a-1）（3，+∞）---（6分）
（3）函數f（x）在區間[-1，

3

2

]上存在零點即（x²+ax+b）e^3-x=0在區間[-1，

3

2

]上有根
所以x²+ax-3-2a=0即a=

x2-3

2-x

在區間[-1，

3

2

]上有根----------（7分）
令u(x)=

x2-3

2-x

，則u/(x)=

-(x-1)(x-3)

(2-x)2

則u（x）在[-1，1]上遞減，在[1，

3

2

]遞增，------------------（9分）
又u(-1)=-

2

3

，u(1)=-2，u(

3

2

)=-

3

2

所以u（x）的值域為[-2，-

2

3

]
所以a∈[-2，-

2

3

]時，函數f（x）在區間[-1，

3

2

]上存在零點----------（10分）
（4）當a＞0時，f（x）在區間（0，3）上的遞增，在區間（3，4）上遞減，
而f （0）=-（2a+3）e³＜0，f （4）=（2a+13）e^-1＞0，f （3）=a+6
那么f（x）在區間[0，4]上的值域是[-（2a+3）e³，a+6]------（12分）
又g(x)=(a2+

25

4

)ex．在區間[0，4]上是增函數
它在區間[0，4]上的值域是[a2+

25

4

，(a2+

25

4

)e4]--------（13分）
由于(a2+

25

4

)-(a+6)=a2-a+

1

4

=(a-

1

2

)2≥0，
所以只須(a2+

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4

)-(a+6)＜1且a＞0，
解得0＜a＜

3

2

-----------------------（15分）

點評：本題主要考查了函數的極值和函數的單調性，以及零點問題和恒成立問題，是一道綜合題，考查的知識點較多，屬于中檔題．