Question

設x=3是函數f（x）=（ax-2）e^x的一個極值點．
（I）求實數a的值；
（II）證明：對于任意x₁，x₂∈[2，4]，都有f（x₁）-f（x₂）≤

1

2

e3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f′（3）=0解出a值，再驗證在x=3左右導數變號．
（II）證明對于任意x₁，x₂∈[2，4]，都有f（x₁）-f（x₂）≤

1

2

e3可轉化為證明fmax(x)-fmin(x)≤

1

2

e3．

解答：（Ⅰ）解：f′（x）=（ax+a-2）e^x．由f′（3）=0得a=

1

2

．
當a=

1

2

時，f′（x）=

1

2

（x-3）e^x在x=3處的左右異號，所以f（x）在x=3處取得極值，
故a=

1

2

．
（Ⅱ）證明：f（x）=

1

2

（x-4）e^x，f′（x）=

1

2

（x-3）e^x．當x∈[2，3]時，f′（x）≤0，f（x）在區間[2，3]上單調遞減；
當x∈（3，4]時，f′（x）＞0，f（x）在區間（3，4]上單調遞增．所以在區間[2，4]上fmin(x)=f(3)=-

1

2

e3．
又f（2）=-e²，f（4）=0，所以在區間[2，4]上f_max（x）=f（4）=0．
對于任意x₁，x₂∈[2，4]，都有f（x₁）-f（x₂）≤f_max（x）-f_min（x）=

1

2

e3．
即f(x1)-f(x2)≤

1

2

e3．

點評：本題考查了應用導數研究函數極值及不等式恒成立問題，注意f′（x₀）=0是可導函數f（x）在x=x₀處取得極值的必要不充分條件，認真體會轉化思想在本題中應用．