Question

設x=3是函數f（x）=（x²+ax+b）e^3-x（x∈R）的一個極值點．
（Ⅰ）求a與b的關系式（用a表示b），并求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設a＞0，g(x)=(a2+

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4

)ex．若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），因為x=3是函數f（x）的一個極值點得到f′（3）=0即可得到a與b的關系式；令f′（x）=0，得到函數的極值點，用a的范圍分兩種情況分別用極值點討論得到函數的單調區間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a＞0時，f（x）在區間（0，3）上的單調遞增，在區間（3，4）上單調遞減，得到f（x）在區間[0，4]上的值域，又g(x)=(a2+

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4

)ex在區間[0，4]上是增函數，求出g(x)=(a2+

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4

)ex的值域，最大減去最小得到關于a的不等式求出解集即可．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=-[x²+（a-2）x+b-a]e^3-x，
由f′（3）=0，得-[3²+（a-2）3+b-a]e^3-3=0，即得b=-3-2a，
則f′（x）=[x²+（a-2）x-3-2a-a]e^3-x
=-[x²+（a-2）x-3-3a]e^3-x=-（x-3）（x+a+1）e^3-x．
令f′（x）=0，得x₁=3或x₂=-a-1，
由于x=3是極值點，
所以x+a+1≠0，那么a≠-4．
當a＜-4時，x₂＞3=x₁，則
在區間（-∞，3）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數；
在區間（3，-a-1）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數；
在區間（-a-1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數．
當a＞-4時，x₂＜3=x₁，則
在區間（-∞，-a-1）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數；
在區間（-a-1，3）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數；
在區間（3，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a＞0時，f（x）在區間（0，3）上的單調遞增，在區間（3，4）上單調遞減，
那么f（x）在區間[0，4]上的值域是[min（f（0），f（4）），f（3）]，
而f（0）=-（2a+3）e³＜0，f（4）=（2a+13）e^-1＞0，f（3）=a+6，
那么f（x）在區間[0，4]上的值域是[-（2a+3）e³，a+6]．
又g(x)=(a2+

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4

)ex在區間[0，4]上是增函數，
且它在區間[0，4]上的值域是[a²+

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4

，（a²+

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4

）e⁴]，
由于（a²+

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4

）-（a+6）=a²-a+

1

4

=（a-

1

2

）²≥0，
所以只須僅須（a²+

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4

）-（a+6）＜1且a＞0，
解得0＜a＜

3

2

．
故a的取值范圍是（0，

3

2

）．

點評：本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力．