Question

【題目】下列函數(shù)中，在其定義域上既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上單調(diào)遞減的是（ ）
A.y=x2
B.y=x+1
C.y=﹣lg|x|
D.y=﹣2x

Answer 1

【答案】C
【解析】解：選項A：f（x）=x2的定義域為R，又∵f（﹣x）=（﹣x）2=x2 ， ∴f（﹣x）=f（x），即f（x）是偶函數(shù)．但y=x2在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故A不正確；
選項B：記f（x）=x+1，則f（1）=2，f（﹣1）=0，∵f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），∴y=x+1是非奇非偶函數(shù)，故B不正確；
選項C：定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），記f（x）=﹣lg|x|，
∵f（﹣x）=﹣lg|﹣x|=﹣lg|x|，∴f（﹣x）=f（x），即f（x）是偶函數(shù)
當(dāng)x∈（0，+∞）時，y=﹣lgx．∵y=lgx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴y=﹣lgx在（0，+∞）上單調(diào)遞減故C正確；
選項D：記f（x）=﹣2x ， 則f（1）=﹣ ，f（﹣1）=﹣2，∵f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），∴y=﹣2x是非奇非偶函數(shù)，故D不正確．
故選：C．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)，還要掌握函數(shù)的奇偶性(偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．