Question

【題目】在圓上任取一點,過點作軸的垂線段,垂足為,點在直線上,且,當點在圓上運動時.

(1)求點的軌跡的方程，并指出軌跡.

(2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．

Answer 1

【答案】（1），橢圓，（2）見解析.

【解析】

(1)設點的坐標為，由,可得，代入化簡即可得結果；(2)設直線，代入可得,利用韋達定理以及中點坐標公式可得 ,從而可得結論.

(1)設點的坐標為，

因為在圓上，所以

設,因為，且與軸垂直，

所以，代入

可得，化為，

即的方程為，軌跡表示焦點在軸上的橢圓.

(2)設直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．

將y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.

故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.

所以直線OM的斜率kOM＝＝－，

所以kOM·k＝－.

故直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．