Question

【題目】如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，平面，，，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn).

（1）證明：平面平面；

（2）若的最大值是，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）推導(dǎo)出AC⊥BM，AC⊥BD，從而AC⊥平面BMND，由此能證明平面EAC⊥平面BMND．

（2）由AE＝CE＞1，cos∠AEC＝1，∠AEC∈（0，π），得到當(dāng)AE最短時(shí)∠AEC最大，即AE⊥MN，CE⊥MN時(shí)∠AEC最大，∠AEC是二面角A﹣MN﹣C的平面角，大小是120°，可得AE．取MN得中點(diǎn)H，連接H與AC、BD的交點(diǎn)O，由題意知OH⊥平面ABCD，建系，利用向量法結(jié)合∠AEC=120°求得ND，利用VM﹣NAC＝VM﹣EAC+VN﹣EAC能求出三棱錐M﹣NAC的體積．

（1）因?yàn)?/span>平面，則.

又四邊形是菱形，則，所以平面.

因?yàn)?/span>在平面內(nèi)，所以平面平面.

（2）設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié).因?yàn)?/span>平面，則，又為的中點(diǎn)，則，所以，.

當(dāng)最短時(shí)最大，此時(shí)，，，.

取的中點(diǎn)，分別以直線，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，且a<,

則點(diǎn)，，，，.

設(shè)平面的法向量，

則，

取，則，

同理求得平面的法向量.

因?yàn)?/span>是二面角的平面角，則

，解得或,又a<，

因?yàn)?/span>，，，

則 .