Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，∠AED=90°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB= AD=2，點G為AC的中點．
（Ⅰ）求證：平面BAE⊥平面DCE；
（Ⅱ）求三棱錐B﹣AEG的體積．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD為矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，

∴CD⊥平面AFED，∴CD⊥AE，

∵∠AED=90°，∴ED⊥AE，

又∵EO∩CD=D，∴AE⊥平面DCE，

又AE平面BAE，∴平面BAE⊥平面DCE．

（Ⅱ）作EN⊥AD，垂足為N，

由平面ABCD⊥平面AFED，平面ABCD∩平面AFED=AD．

得EN⊥平面ABCD，即EN為三棱錐E﹣ABG的高．

∵在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60°，∴△AEF是正三角形，AE=2，

由EF∥AD，知∠EAD=60°，∴ ，

∴三棱錐B﹣AEG的體積為：

．

【解析】（Ⅰ）推導出CD⊥AE，ED⊥AE，從而AE⊥平面DCE，由此能證明平面BAE⊥平面DCE．（Ⅱ）作EN⊥AD，垂足為N，三棱錐B﹣AEG的體積為VB﹣AEG=VE﹣ABG，由此能求出結果．
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．