Question

【題目】已知函數 （a＜0）． （Ⅰ）當a=﹣3時，求f（x）的單調遞減區間；
（Ⅱ）若函數f（x）有且僅有一個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵a=﹣3，∴ ，

故 ，

令f′（x）＜0，解得﹣3＜x＜﹣2或x＞0，

即所求的單調遞減區間為（﹣3，﹣2）和（0，+∞）；

（Ⅱ）∵ （x＞a），

令f′（x）=0，得x=0或x=a+1，

當a+1＞0，即﹣1＜a＜0時，

f（x）在（a，0）和（a+1，+∞）上為減函數，在（0，a+1）上為增函數，

由于f（0）=aln（﹣a）＞0，當x→a時，f（x）→+∞，

當x→+∞時，f（x）→﹣∞，于是可得函數f（x）圖象的草圖如圖：

此時函數f（x）有且僅有一個零點．

即當﹣1＜a＜0對，f（x）有且僅有一個零點；

當a=﹣1時， ，

∵ ，∴f（x）在（a，+∞）單調遞減，

又當x→﹣1時，f（x）→+∞．當x→+∞時，f（x）→﹣∞，

故函數f（x）有且僅有一個零點；

當a+1＜0即a＜﹣1時，

f（x）在（a，a+1）和（0，+∞）上為減函數，在（a+1，0）上為增函數，

又f（0）=aln（﹣a）＜0，當x→a時，f（x）→+∞，當x→+∞時，f（x）→﹣∞，

于是可得函數f（x）圖象的草圖如圖：

此時函數f（x）有且僅有一個零點；

綜上所述，所求的范圍是a＜0．

【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的遞減區間即可；（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，結合函數的圖象求出a的具體范圍即可．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．