Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣k）ex ． （Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=（x﹣k+1）ex，

令f′（x）=0，得x=k﹣1，

f′（x）f（x）隨x的變化情況如下：

x	（﹣∞，k﹣1）	k﹣1	（k﹣1，+∞）
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	↓	﹣ek﹣1	↑

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，k﹣1），f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（k﹣1，+∞）；

（Ⅱ）當(dāng)k﹣1≤0，即k≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，

∴f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f（0）=﹣k；

當(dāng)0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2時(shí)，由（I）知，f（x）在區(qū)間[0，k﹣1]上單調(diào)遞減，f（x）在區(qū)間（k﹣1，1]上單調(diào)遞增，

∴f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f（k﹣1）=﹣ek﹣1；

當(dāng)k﹣1≥1，即k≥2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，

∴f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f（1）=（1﹣k）e；

綜上所述f（x）min=

【解析】（I）求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程，跟據(jù)f′（x）f（x）隨x的變化情況即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)（I），對(duì)k﹣1是否在區(qū)間[0，1]內(nèi)進(jìn)行討論，從而求得f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．