Question

【題目】已知數列{an}是各項均為正數的等差數列，其中a1=1，且a2、a4、a6+2成等比數列；數列{bn}的前n項和為Sn ， 滿足2Sn+bn=1
（1）求數列{an}、{bn}的通項公式；
（2）如果cn=anbn ， 設數列{cn}的前n項和為Tn ， 求證：Tn＜Sn+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設數列{an}的公差為d，

∵a2、a4、a6+2成等比數列；

∴ =a2（a6+2），

即 =（a1+d）（a1+5d+2），d＞0．

解得d=1，

∴an=1+（n﹣1）=n．

由2Sn+bn=1，

得Sn= ，

當n=1時，2S1+b1=1，解得b1= ，

當n≥2時，bn=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ = + ，

∴ ，

∴數列{bn}是首項為 ，公比為 的等比數列，

故 ．

（2）解：證明：由（1）知，cn=anbn= ，

∴Tn= +…+ ，

= +…+ + ，

得 = +…+ ﹣ = ﹣ = ﹣ ，

∴Tn= ﹣ ．

又 = + = ﹣ ，

∵ = ，

∴Tn＜Sn+ ．

【解析】（1）利用等差數列與等比數列的通項公式、遞推關系即可得出；（2）利用“錯位相減法”與等比數列的前n項和公式即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．