Question

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0）的一個頂點坐標為A（0，﹣1），離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若直線y=k（x﹣1）（k0）與橢圓C交于不同的兩點P，Q，線段PQ的中點為M，點B（1，0），求證：點M不在以AB為直徑的圓上.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）由已知列出關于的方程組可解得結論；

（Ⅱ）設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0),由直線方程與橢圓方程聯立消去后整理，應用韋達定理得，求出中點坐標，計算，證明即可，

（Ⅰ）解：由題意可知

解得

所以橢圓C的方程為.

（Ⅱ）證明：設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0),.

由得(4k2+1)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，

所以△=(﹣8k2)2﹣4×(4k2+1)(4k2﹣4)=48k2+16.

所以當k為任何實數時，都有△＞0.

所以 ，.

因為線段PQ的中點為M，

所以 ，，

因為 B（1，0），

所以 ，.

所以

.

又因為 k0，，

所以 ，

所以點M不在以AB為直徑的圓上.