Question

【題目】已知橢圓E： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，四邊形ABCD的各頂點均在橢圓E上，且對角線AC，BD均過坐標原點O，點D（2，1），AC，BD的斜率之積為 ．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過D作直線l平行于AC．若直線l′平行于BD，且與橢圓E交于不同的兩點M．N，與直線l交于點P．
⑴證明：直線l與橢圓E有且只有一個公共點；
⑵證明：存在常數λ，使得|PD|2=λ|PM||PN|，并求出λ的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意 ，解得 ．

故橢圓E的方程為 ；

證明：（Ⅱ）（1）由題意 ，

∵ ，得 ，則直線l的方程為 ，

聯立 ，化簡得x2﹣4x+4=0．

∵判別式△=0，∴直線l與橢圓E有且只有一個公共點；

⑵設直線l′的方程為y= （m≠0）．

聯立方程組 ，解得 ．故點P坐標為（2﹣m， ）， ．

聯立方程組 ，化簡得x2+2mx+2m2﹣4=0．

設點M（x1，y1），N（x2，y2）．

判別式△=4（﹣m2+4）＞0，得﹣2＜m＜2．

又 ．

∴|PM|= ．

同理， ．

故|PM||PN|= = = ．

∵|PD|2=λ|PM||PN|，解得λ=1．

故存在常數λ為1，使得|PD|2=λ|PM||PN|．

【解析】1、（Ⅰ）本題考查的是用待定系數法求橢圓的方程。
（Ⅱ） 由題意 k A C k B D = 1 4 ，∵ ，得 ，則直線l的方程為 ，

聯立 ，化簡得x2﹣4x+4=0．∵判別式△=0，∴直線l與橢圓E有且只有一個公共點；
2、聯立兩直線的方程可得故點P坐標為（2﹣m， 1 + ），.再聯立直線和橢圓的方程化簡得x2+2mx+2m2﹣4=0．

設點M（x1，y1），N（x2，y2）．判別式△=4（﹣m2+4）＞0，得﹣2＜m＜2．又 ．

∴|PM|= ( 2 m x 1) 2 + ( 1 + m 2 y 1) 2 = | 2 m x 1 |即.故|PM||PN|= .

∵|PD|2=λ|PM||PN|，解得λ=1．故存在常數λ為1，使得|PD|2=λ|PM||PN|．