Question

已知橢圓方程為，P為橢圓上的動點，F1、F2為橢圓的兩焦點，當點P不在x軸上時，過F1作∠F1PF2的外角平分線的垂線F1M，垂足為M，當點P在x軸上時，定義M與P重合．
（Ⅰ）求M點的軌跡T的方程；
（Ⅱ）已知、，試探究是否存在這樣的點：是軌跡T內部的整點（平面內橫、縱坐標均為整數的點稱為整點），且△OEQ的面積？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）當點P不在x軸上時，延長F1M與F2P的延長線相交于點N,連結OM，

∵, ∴≌∴M是線段的中點，|，
∴= ==
∵點P在橢圓上
∴＝   ∴＝4，
當點P在x軸上時，M與P重合
∴M點的軌跡T的方程為：．
（Ⅱ）連結OE，易知軌跡T上有兩個點

A，B滿足,
分別過A、B作直線OE的兩條平行線、.
∵同底等高的兩個三角形的面積相等
∴符合條件的點均在直線、上.
∵  ∴直線、的方程分別為：
、
設點（）∵在軌跡T內，∴
分別解與，得與
∵∴為偶數，在上對應的
在上，對應的
∴滿足條件的點存在，共有6個，它們的坐標分別為：
．

略