Question

【題目】已知函數f(x)=|x﹣1|+|2x﹣6|(x∈R)，記f(x)的最小值為c.

（1）求c的值;

（2）若實數ab滿足a>0,b>0，a+b=c，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）1.

【解析】

（1）根據絕對值的幾何意義，將問題理解為數軸上點到1，3，3距離的最小值即可求得；

（2）根據（1）中所求結果，配湊出使用均值不等式的條件，利用均值不等式即可求得.

（1）f(x)=|x﹣1|+|2x﹣6=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣3|，

f(x)表示數軸上的點到數軸上1,3,3對應點的距離之和.

∴f(x)min=f（3）=2，

∴c=2.

（2）∵a+b=2，

∴[(a+1)+(b+1)]()

[a2+b2](a2+b2+2ab)(a+b)2=1；

當且僅當，即時，有最小值1.