Question

【題目】已知函數(shù)=lnx+ax2+(2a+1)x．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)a﹤0時(shí)，證明．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化情況討論單調(diào)性：當(dāng)時(shí)， ，則在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）證明，即證，而，所以需證，設(shè)g（x）=lnx-x+1 ，利用導(dǎo)數(shù)易得，即得證.

試題解析：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+），.

若a≥0，則當(dāng)x∈（0，+）時(shí)， ，故f（x）在（0，+）單調(diào)遞增.

若a＜0，則當(dāng)x∈時(shí)， ；當(dāng)x∈時(shí)， .故f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（2）由（1）知，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在取得最大值，最大值為

.

所以等價(jià)于，即.

設(shè)g（x）=lnx-x+1，則.

當(dāng)x∈（0,1）時(shí)， ；當(dāng)x∈（1，+）時(shí)， .所以g（x）在（0,1）單調(diào)遞增，在（1，+）單調(diào)遞減.故當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得最大值，最大值為g（1）=0.所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）≤0.從而當(dāng)a＜0時(shí)， ，即.