Question

已知直線l：x+y+8=0，圓O：x²+y²=36（O為坐標原點），橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為e=，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的長軸長相等．
（I）求橢圓C的方程；
（II）過點（3，0）作直線l，與橢圓C交于A，B兩點設（O是坐標原點），是否存在這樣的直線l，使四邊形為ASB的對角線長相等？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵圓心O到直線l：x+y+8=0的距離為，
∴直線l被圓O截得的弦長為，
∵直線l被圓O截得的弦長與橢圓的長軸長相等，
∴2a=4，∴a=2，
∵橢圓的離心率為e=，
∴c=
∴b²=a²-c²=1
∴橢圓C的方程為：； …（4分）
（Ⅱ）∵，∴四邊形OASB是平行四邊形．
假設存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線長相等，則四邊形OASB為矩形，因此有，
設A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0．…（7分）
直線l的斜率顯然存在，設過點（3，0）的直線l方程為：y=k（x-3），
由，得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，
由△=（-24k²）²-4（1+4k²）（36k²-4）＞0，可得-5k²+1＞0，即．…（9分）
∴=，
由x₁x₂+y₁y₂=0得：，滿足△＞0．…（12分）
故存在這樣的直線l，其方程為．…（13分）
分析：（Ⅰ）計算圓心O到直線l：x+y+8=0的距離，可得直線l被圓O截得的弦長，利用直線l被圓O截得的弦長與橢圓的長軸長相等，可求a的值，利用橢圓的離心率為e=，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）由，可得四邊形OASB是平行四邊形．假設存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線長相等，則四邊形OASB為矩形，因此有，設直線方程代入橢圓方程，利用向量的數量積公式，即可求得結論．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓、直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，聯立方程，利用向量的數量積公式、韋達定理是關鍵．