Question

【題目】已知焦點在y軸上的橢圓E的中心是原點O，離心率等于，以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為.直線與軸交于點P，與橢圓E相交于A，B兩個點．

（I）求橢圓E的方程；

(II)若，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）(1，4).

【解析】試題分析：

(1)由題意求得a＝2，b＝1.∴橢圓E的方程為 ＋x2＝1.

(2)聯立直線與橢圓的方程，結合判別式為正數得到關于m的不等式，求解不等式可得的取值范圍是(1，4).

試題解析：

(I)根據已知設橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，焦距為2c，

由已知得＝，∴c＝a，b2＝a2－c2＝.

∵以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為4，

∴4＝2a＝4，∴a＝2，b＝1.∴橢圓E的方程為＋x2＝1.

(II)根據已知得P(0，m)，設A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，

由得，(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0.

由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，即k2－m2＋4>0，且x1＋x2＝，x1x2＝.

由得x1＝－3x2.

∴3(x1＋x2)2＋4x1x2＝12x－12x＝0.

∴＋＝0，即m2k2＋m2－k2－4＝0.

當m2＝1時，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立，∴k2＝.

∵k2－m2＋4>0，∴－m2＋4>0，即>0.∴1<m2<4.

∴m2的取值范圍為(1，4)．