Question

【題目】在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點，E，F分別邊AB，BC上的點，且；

求證：（1）點E，F，G，H四點共面；

（2）直線EH，BD，FG相交于同一點．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據題意利用中位線定理，平行線分線段成比例逆定理和平行公理，可得，再根據公理2的推論即得證；

（2）由（1）知且，所以EH與FG交于一點P，只需再證明點P在直線BD上，即可證出．

（1）如圖所示，連接EF，HG，

空間四邊形ABCD中，H、G分別是AD、CD的中點，

∴且．

又，∴且．

故，即E、F、G、H四點共面．

（2）由（1）知且，

∴設EH與FG交于點P，

∵平面ABD，P在平面ABD內，

同理P在平面BCD內，且平面平面，

∴點P在直線BD上，

∴直線EH，BD，FG相交于一點．