Question

【題目】已知復數z的實部和虛部都是整數，
（1）若復數z為純虛數，且|z﹣1|=|﹣1+i|，求復數z；
（2）若復數z滿足z+ 是實數，且1＜z+ ≤6，求復數z．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵z為純虛數，∴設z=ai（a∈R且a≠0），

又|﹣1+i|= ，由|z﹣1|=|﹣1+i|，

得 = ，解得a=±1，∴z=±i．

（2）解：設z=a+bi（a，b∈Z，且a2+b2≠0）．

則z+ =a+bi+ =a+bi+ =a+ +（b﹣ ）i．

由z+ 是實數，且1＜z+ ≤6，∴b﹣ =0，即b=0或a2+b2=10

又1＜a+ ≤6，（*）

當b=0時，（*）化為1＜a+ ≤6無解．

當a2+b2=10時，（*）化為1＜2a≤6，∴ ＜a≤3．

由a，b∈Z，知a=1，2，3．∴相應的b=±3，± （舍），±1．

因此，復數z為：1±3i或3±i

【解析】（1）復數z為純虛數，設出復數z，化簡|z﹣1|=|﹣1+i|，求出a，即可求復數z；（2）設z=a+bi，化簡復數z+ ，利用復數是實數，且1＜z+ ≤6，求解a，b，即可求復數z．