Question

【題目】如圖，已知斜三棱柱， ， ， 在底面上的射影恰為的中點，且.

（1）求證： 平面；

（2）求到平面的距離；

（3）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】試題分析：（1）由題意得A1D⊥平面ABC，根據面面垂直判定定理得平面A1ACC1⊥平面ABC，由BC⊥AC，根據面面垂直性質定理得BC⊥平面A1ACC1，即得BC⊥AC1，又已知，所以由線面垂直判定定理得平面；（2）利用向量求線面距離，首先求平面法向量，再根據向量投影求距離：先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組求平面法向量；再根據向量投影求距離（3）利用向量求二面角：先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組求平面法向量；再根據向量數量積求法向量夾角，最后根據二面角與法向量夾角關系求二面角的平面角的余弦值.

試題解析：解：（1）∵A1在底面ABC上的射影為AC的中點D，

∴平面A1ACC1⊥平面ABC，

∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

∴BC⊥平面A1ACC1，

∴BC⊥AC1，

∵AC1⊥BA1且BC∩BA1=B，

∴AC1⊥平面A1BC。

（2）如圖所示，以C為坐標原點建立空間直角坐標系，

∵AC1⊥平面A1BC，

∴AC1⊥A1C，

∴四邊形A1ACC1是菱形，

∵D是AC的中點，

∴∠A1AD=60°，

∴A（2，0，0），A1（1，0，），B（0，2，0）， C1（-1，0，），

∴=（1，0，），=（-2，2，0），

設平面A1AB的法向量=（x，y，z），

∴，

令z=1，

∴=（，，1），

∵=（2，0，0），

∴，

∴C1到平面A1AB的距離是

（3）平面A1AB的法向量=（，，1），平面A1BC的法向量=（-3，0，），

∴，

設二面角A-A1B-C的平面角為θ，θ為銳角，

∴，

∴二面角A-A1B-C的余弦值為