Question

【題目】已知橢圓.

（1）若橢圓的離心率為，且點在橢圓上，①求橢圓的方程；

②設分別為橢圓的右頂點和上頂點，直線和與軸和軸相交于點，求直線的方程；

（2）設 過點的直線與橢圓交于兩點，且均在的右側， ，求橢圓離心率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①;②（2）

【解析】【試題分析】（1）依據題設條件“離心率為，且點在橢圓”建立方程組求出橢圓方程，進而借助題設“分別為橢圓的右頂點和上頂點，直線和與軸和軸相交于點”求出，然后求出直線的方程為；（2）先設坐標，再借助建立方程組，根據題意， ，解得，進而求得點的橫坐標，依據題意建立不等式求出離心率的取值范圍。

解：（1）①;② 由前知， ，所以直線的方程為.

（2）設，因為，所以，根據題意， ，解得，連，延長交橢圓于點，直線的方程為，代入橢圓方程解得點的橫坐標，所以，即，解得，即，所以，所以橢圓離心率的取值范圍是.