Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

3

）的離心率e=

1

2

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）斜率k=1的直線交橢圓于A、B，交y軸于T（0，t），當(dāng)弦|AB|=

24

7

，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直接利用橢圓的方程以及離心率，求出a．即可求橢圓E的方程；
（2）設(shè)出斜率k=1的直線方程與橢圓聯(lián)立，通過弦長(zhǎng)公式|AB|=

24

7

，即可求t的值．

解答： 解：（1）由e=

1

2

=

a2-3

a

得：a=2  則橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)直線為y=x+t，代入橢圓方程得：

x2

4

+

(x+t)2

3

=1，
化簡(jiǎn)得：7x²+8tx+4t²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x1+x2=

-8t

7

，x1•x2=

4t2-12

7

∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

2

•

4 21-3t2

7

=

24

7

，
解得t²=1，
則t=±1

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓方程的求法，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．