Question

【題目】數列滿足，，為非零常數.

（1）是否存在實數，使得數列成為等差數列或等比數列，若存在，找出所有的，及對應的通項公式；若不存在，說明理由；

（2）當時，記，證明：數列是等比數列；

（3）求數列的通項公式.

Answer 1

【答案】（1）存在，， （2）證明見解析 （3）

【解析】

（1）分別假設存在實數，使得數列成為等差數列、等比數列，通過等差中項的性質、等比數列的性質，最后可以判斷出存在實數，使得數列成為等比數列；

（2）由（1）結合已知，通過定義可以證明出數列是等比數列；

（3）根據的不同取值，分類討論，通過對遞推公式的恒等變形，構造新數列，最后求出數列的通項公式.

（1）假設存在實數，使得數列成為等差數列，，，

，則有，該一元二次方程根的判別式，該方程無實根，故不存在實數，使得數列成為等差數列.

假設存在實數，使得數列成為等比數列，則有

，，

因為，所以數列成為等比數列，存在，，；

（2）時，由（1）可知：，，

，所以數列是等比數列；

（3），

當時，由可知：數列是以為首項，為公差的等差數列，故；

當時，，設，

，

所以是以為首項，為公比的等比數列，因此，

所以.