Question

半平面α與半平面β所成的二面角為30°，若α內(nèi)的一個橢圓上的所有點在β內(nèi)的射影構(gòu)成一個圓，則此橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)α內(nèi)的橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，設(shè)圓的半徑為r，則b=r，2acos30°=2r=2b，于是可求得a²=4c²，利用橢圓中a²、b²、c²之間的關(guān)系即可求得橢圓的離心率．

解答： 解：∵α內(nèi)的一個橢圓（其長軸長為2a，短軸長為2b）上的所有點在β內(nèi)的射影構(gòu)成一個圓，
設(shè)圓的半徑為r，則b=r，
又半平面α與半平面β所成的二面角為30°，
所以，2acos30°=2r=2b，即

3

a=2b，
所以，3a²=4b²=4（a²-c²），
整理得：a²=4c²，即e²=

c2

a2

=

1

4

，
所以，此橢圓的離心率為

1

2

，
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，著重考查其離心率的求法，考查射影的概念的應用，求得

3

a=2b是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想．