Question

【題目】已知函數，其中a∈R．

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）當 時，設、為曲線上任意兩點，曲線在點處的切線斜率為k，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，的增區間為；當時，在為增函數，在為減函數．（Ⅱ）詳見解析．

【解析】

（1）分和兩種情況分別討論導數的符號可得函數的單調區間．

（2）原不等式等價于，不妨設，則不等式又可以轉化為即，利用導數可證該不等式．

（1）

當時，，故的增區間為．

當時，

若，則，故在為增函數；

若，則，故在為減函數；

綜上，當時，的增區間為；

當時，在為增函數，在為減函數．

（2）當時，，．

原不等式等價于，

不妨設，則原不等式又等價于，該式可進一步化為：

，因此原不等式等價于，下證該不等式成立．

令，則，

故在為增函數，所以即成立，

綜上，原不等式成立．