Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x），x∈（0，1）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若a+b+c=1，a，b，c∈（0，1）．求證：alna+blnb+clnc≥（a﹣2）ln2．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

令 ．

當 時，f′（x）＜0；當 時，f′（x）＞0．

所以， ．

（2）證明：由a+b+c=1，a，b，c∈（0，1），得 ， ．

由（1），當x∈（0，1），xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）≥﹣ln2，

所以， ， ，

blnb+clnc≥（a﹣1）ln2+（b+c）ln（1﹣a）=（a﹣1）ln2+（1﹣a）ln（1﹣a）．（*）

因為a∈（0，1），由（1），alna+（1﹣a）ln（1﹣a）≥﹣ln2，

所以，（1﹣a）ln（1﹣a）≥﹣alna﹣ln2．（**）

由（*） （**），blnb+clnc≥（a﹣1）ln2﹣alna﹣ln2，

所以，alna+blnb+clnc≥（a﹣2）ln2．

【解析】（1）求函數的最值問題，需求出該函數的導函數，判斷函數的單調性，求出極值點，在給定區間內求解函數的最小值；
（2）由a+b+c=1,推出,由（1）的結果轉化推出,即可證明
【考點精析】本題主要考查了不等式的證明的相關知識點，需要掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等才能正確解答此題．