Question

已知α∈(

π

2

，π)，sinα+cosα=

1

5

，則cos2α的值為（　　）

• A．

  24

  25

• B．-

  24

  25

• C．-

  7

  25

• D．

  7

  25

Answer 1

分析：把已知的等式左右兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數間的平方關系sin²α+cos²α=1化簡，求出2sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函數間的平方關系sin²α+cos²α=1化簡（sinα-cosα）²，把2sinαcosα的值代入求出（sinα-cosα）²的值，由α的范圍判斷出sinα和cosα的正負，進而得到sinα-cosα為正，開方可得sinα-cosα的值，與已知的等式聯立求出sinα和cosα的值，最后利用二倍角的余弦函數公式化簡所求的式子，將求出sinα和cosα的值，即可求出所求式子的值．

解答：解：把sinα+cosα=

1

5

①兩邊平方得：
（sinα+cosα）²=sin²α+cos²α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=

1

25

，
∴2sinαcosα=-

24

25

，
則（sinα-cosα）²=sin²α+cos²α-2sinαcosα=1-2sinαcosα=

49

25

，
∵α∈（

π

2

，π），∴sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα-cosα＞0，
∴sinα-cosα=

7

5

②，
聯立①②解得：sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，
則cos2α=cos²α-sin²α=-

7

25

．
故選C

點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，完全平方公式的運用，以及二倍角的余弦函數公式，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵．