Question

【題目】已知函數f（x）=（2x﹣a）2+（2﹣x+a）2 ， x∈[﹣1，1]．
（1）若設t=2x﹣2﹣x ， 求出t的取值范圍（只需直接寫出結果，不需論證過程）；并把f（x）表示為t的函數g（t）；
（2）求f（x）的最小值；
（3）關于x的方程f（x）=2a2有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=（2x﹣a）2+（2﹣x+a）2=（2x﹣2﹣x）2﹣2a（2x﹣2﹣x）+2a2+2

令t=2x﹣2﹣x，x∈[﹣1，1]，∴

f（x）表示為t的函數g（t）=t2﹣2at+2a2+2=（t﹣a）2+a2+2

（2）解：g（t）=t2﹣2at+2a2+2=（t﹣a）2+a2+2，

當 時，

當 時，

當 時， ，

∴

（3）解：方程f（x）=2a2有解，即方程t2﹣2at+2=0在 上有解，而t≠0

∴ ，

令 ，則 ，∴函數在 上單調遞減， 上單調遞增

∴ ，

又 為奇函數，∴當 時

∴a的取值范圍是

【解析】（1）展開，換元，代入可得函數解析式；（2）利用配方法，分類討論，可求f（x）的最小值；（3）方程f（x）=2a2有解，即方程t2﹣2at+2=0在 上有解，分離參數，利用基本不等式可得結論．
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義和函數的零點的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；函數的零點就是方程的實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點才能正確解答此題．