Question

【題目】已知函數，

(I)討論函數的單調性；

(II)對于任意，有，求實數的范圍

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先求導數，并求導函數零點，根據零點大小以及是否在定義域內進行分類討論單調性（2）先調整不等式為，再構造函數，轉化為證明函數單調遞增，即導函數恒非負，利用參變分離法轉化為對應函數最值問題，解得實數的范圍

試題解析：（1）==

，

當時， 在（0， 上單調遞增，在（1，a-1）上單調遞減；在（上遞增；

當時， 在（0， 上單調遞增；

當 在（0，a-1）上單調遞增，在（a-1，1）上單調遞減；在（上單調遞增；

當時， 在（0,1）上單調遞減，在（上單調遞增。

綜上所述： 的單調性為

當時， 在（0， 上單調遞增，在（1，a-1）上單調遞減；在（上遞增；

當時， 在（0， 上單調遞增；

當 在（0，a-1）上單調遞增，在（a-1，1）上單調遞減；在（上單調遞增；

當時， 在（0,1）上單調遞減，在（上單調遞增。

（Ⅲ） ，

令

對于任意，有恒成立等價于函數在（0， 上是增函數。

=，令

當時，要使在（0， 恒成立，因為。故只需 ， 即，即，無解

當時，要使在（0， 恒成立，因為，只需

即+ ，化簡得。

解得

綜上所述：實數a的取值范圍是。