Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的右焦點為F2（1，0），點P（1， ）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過坐標原點O的兩條直線EF，MN分別與橢圓C交于E，F，M，N四點，且直線OE，OM的斜率之積為﹣ ，求證：四邊形EMFN的面積為定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵為點 在橢圓C上，橢圓C的右焦點為F2（1，0）， 則 ，解得 ，
∴橢圓C的方程為 ．
（Ⅱ）當直線EM斜率存在時，設直線方程為l：y=kx+m，E（x1 ， y1），M（x2 ， y2），
聯立 得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0， ，
= ，
由 得 ，即2m2=2k2+1，
原點到直線EM的距離為 ，
∴
= =
=
= ，
∴ ．
當直線EM斜率不存在時， ，x1=x2 ， y1=﹣y2 ， ∴ ，
又 ，解得 ，
【解析】（Ⅰ）由題意可得： ，解出即可得出．（Ⅱ）當直線EM斜率存在時，設直線方程為l：y=kx+m，E（x1 ， y1），M（x2 ， y2），與橢圓方程聯立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，利用斜率計算公式、根與系數的關系及其 ，可得2m2=2k2+1，原點到直線EM的距離為 ，利用 ，代入化簡即可得出定值，斜率不存在時也成立．