Question

【題目】平面直角坐標系中，有橢圓 (為參數)和拋物線 (為參數).

（Ⅰ）是否存在這樣的值，使得該橢圓與該拋物線有四個不同的交點？請說明理由.

（Ⅱ）當取何值時，該橢圓與該拋物線的交點與坐標原點的距離等于這個交點與該橢圓中心的距離？

Answer 1

【答案】（1）不存在（2）0或 .

【解析】試題分析：（1）將題中的橢圓及拋物線方程分別消參化為普通方程,并聯立得方程組,轉化為二次方程根的分布問題；（2）確定該橢圓與該拋物線的交點與坐標原點的距離，確定這個交點與該橢圓中心的距離，比較判斷即可.

試題解析：

解：（Ⅰ）將題中的橢圓及拋物線方程分別消參化為普通方程,并聯立得方程組：

消去y得,令.

由拋物線方程知,則橢圓與拋物線有四個交點的充要條件是方程

在上有兩個不等的實根,即 即

顯然此不等式組無解,故滿足題設條件的值不存在.

（Ⅱ）由Δ≥0得,又知橢圓的半長軸,拋物線的頂點為,故當,即時,橢圓與拋物線必相交.

若滿足題設條件,可有以下兩種情況：①橢圓中心與原點重合,此時；②橢圓與拋物線的交點在橢圓中心與原點所連線段的垂直平分線上,即交點在直線上，

將代入,得,解得舍去負值）.

綜上所述,滿足題設條件的值應為0或 .