Question

【題目】設，為正整數，一個正整數數列滿足.對，定義集合.數列中的是集合中元素的個數.

（1）若數列為5，3，3，2，1，1，寫出數列；

（2）若，，為公比為的等比數列，求；

（3）對，定義集合，令是集合中元素數的個數.求證：對，均有.

Answer 1

【答案】（1）數列為；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據題意得出求出，即可得出數列；

（2）根據題意得出,從而寫出數列,假設數列中有個，個,…,個,個,結合題設條件證明,利用等比數列的求和公式即可得出；

（3）利用（2）中結論得出，接下來證明對，即可得出.

（1）

數列為

（2）由題意知，則

因為數列為公比為的等比數列，所以數列為

假設數列中有個，個,…,個,個

所以

由題意可知

…

…

所以

所以

（3）對,表示數列中大于等于的個數，即

由(2)知

…

并且

所以

設，則，即，從而

故

從而，故，而，故有

設，即，根據集合的定義，有

由知，，由的定義可得

而由，故

由此，對，均有.