Question

【題目】已知：數列{an}中， =n，a2=6，n∈N+ ．
（1）求a1 ， a3 ， a4；
（2）猜想an的表達式并給出證明；
（3）記：Sn= + +…+ ，證明：Sn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時， ，a1=1；

當n=2時， ，a3=15；

當n=3時， ，a4=28．

∴a1=1，a3=15，a4=28

（2）解：猜想an=n（2n﹣1）．

證明：當n=1時，a1=1×（2×1﹣1）=1成立，當n=2時，a2=2×（2×2﹣1）=6成立；

假設當n=k（k≥2）時結論成立，即ak=k（2k﹣1），

那么，當n=k+1時，由 ，得 ，

∴ ，

得ak+1=（k+1）（2k+1），即n=k+1時，結論成立．

綜上，an=n（2n﹣1）

（3）證明：∵ （n≥2）．

∴Sn= + +…+ ＜1+

【解析】（1）直接由數列遞推式結合a2=6依次求得a1 ， a3 ， a4；（2）由數列前4項歸納猜測an=n（2n﹣1），然后利用數學歸納法證明；（3）由 （n≥2），作和后放縮得答案．
【考點精析】通過靈活運用數列的通項公式，掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．