Question

【題目】在等比數列{an}中，an＞0，（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，a3與a5的等比中項為2．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn=log2an ， 數列{bn}的前n項和為Sn ， 當 最大時，求n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為a1a5+2a3a5+a2a8=25，所以，a32+2a3a5+a52=25

又an＞o，a3+a5=5，

又a3與a5的等比中項為2，所以，a3a5=4

而q∈（0，1），所以，a3＞a5，所以，a3=4，a5=1，q= ，a1=16，

所以，an=16× =25﹣n

（2）解：bn=log2an=5﹣n，所以，bn+1﹣bn=﹣1，

所以，{bn}是以4為首項，﹣1為公差的等差數列

所以sn= =

所以，當n≤8時， ＞0，

當n=9時， =0，

n＞9時， ＜0，

當n=8或9時， 最大

【解析】（1）利用等比數列的性質把a1a5+2a3a5+a2a8=25轉化為a32+2a3a5+a52=25，求出a3+a5=5，再利用a3與a5的等比中項為2即可首項和公比，進而求出數列{an}的通項公式；（2）先利用（1）求出數列{bn}的通項公式以及前n項和為Sn ， ，進而得到 的通項，即可求出當 最大時，對應n的值．
【考點精析】利用等差數列的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在等差數列{an}中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；相隔等距離的項組成的數列是等差數列．