Question

【題目】(2015·湖南)如下圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，E、F分別是BC、CC1的中點.

(1)證明：平面AEF⊥平面B1BCC1；

(2)若直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°，求三棱錐F－AEC的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】(1)證明：如圖，因為三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1，

又E是正三角形ABC的邊BC的中點，所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1，又AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.

(2)設(shè)AB的中點為D，連接A1D，CD，因為△ABC是正三角形，所以CD⊥AB，又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1，因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D為直線A1C與平面A1ABB1所成的角，由題設(shè)知∠CA1D＝45°，

所以A1D＝CD＝AB＝，在Rt△AA1D中，AA1＝，所以FC＝AA1＝，故三棱錐F－AEC的體積V＝

S△AEC×FC＝.