Question

(本小題滿分12分)
設A₁、A₂是雙曲線的實軸兩個端點，P₁P₂是雙曲線的垂直于軸的弦，
（Ⅰ）直線A₁P₁與A₂P₂交點P的軌跡的方程；
（Ⅱ）過與軸的交點Q作直線與（1）中軌跡交于M、N兩點，連接FN、FM，其中F,求證：為定值；

Answer 1

（Ⅰ）（ ；（Ⅱ）見解析。

（Ⅰ）利用交軌法來求直線P₁A₁和P₂A₂的交點的軌跡方程，先根據已知條件求出A₁、A₂點的坐標，設P（x₀，y₀），則N（x₀，-y₀），求出直線PA₁和NA₂的方程，聯立方程，方程組的解為直線PA₁和NA₂交點的坐標，再把P點坐標（x₀，y₀）用x，y表示，代入雙曲線方程，化簡即得軌跡C的方程．
（Ⅱ）設的方程為，，直線MN的方程與曲線C的方程聯立消y可得關于x的一元二次方程，解出M，N點橫坐標之和與之積代入下式即可證明為定值．
（Ⅰ）設,則的方程為   ①
的方程為  ② 將①×②，得
又在雙曲線上，，即，
代入上式 ，得（              ………5分
（Ⅱ）法一：設的方程為，
聯立，得 消，得
則
..12分