Question

設雙曲線C：的左、右頂點分別為A₁、A₂，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點。
（1）若直線m與x軸正半軸的交點為T，且，求點T的坐標；
（2）求直線A₁P與直線A₂Q的交點M的軌跡E的方程；
（3）過點F（1，0）作直線l與（Ⅱ）中的軌跡E交于不同的兩點A、B，設，若（T為（1）中的點）的取值范圍。

Answer 1

（1）點T的坐標為（2，0） 
（2） 
（3）

試題分析：（1）設出P、Q的坐標，求得向量的坐標，利用 ，P（x₀，y₀）在雙曲線上，即可求得結論；
（2）利用三點共線建立方程，利用P（x₀，y₀）在雙曲線上，即可求得軌跡方程；
（3）用坐標表示，利用韋達定理，求得模長，從而可得函數關系式，進而可求其范圍．
解：（1）由題，得，設
則
由 ……①
又在雙曲線上，則  ……②
聯立①、②，解得   由題意，
∴點T的坐標為（2，0） 
（2）設直線A₁P與直線A₂Q的交點M的坐標為（x，y）
由A₁、P、M三點共線，得
  ……③ 
由A₂、Q、M三點共線，得
  ……④ 聯立③、④，解得    
∵在雙曲線上，∴∴軌跡E的方程為 
（3）容易驗證直線l的斜率不為0。
故可設直線l的方程為中，得  
設
則由根與系數的關系，得 ……⑤ ……⑥
∵ ∴有
將⑤式平方除以⑥式，得 
由
 
∵
又
故
考點：
點評：解決該試題的關鍵是借助于向量關系式來表示得到坐標，同時能利用三點共線，進而得到坐標關系，解得軌跡方程。易錯點就是設而不求的思想，在運算中的準確表示。