Question

如圖，三棱柱中，⊥面，，
，為的中點.
（Ⅰ）求證：；
　 （Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在側棱上是否存在點，使得
？請證明你的結論.

Answer 1

見解析.

第一問中，利用線面平行的判定定理可以得到OD∥B₁A，又B₁A?平面BDC₁，OD⊆平面BDC₁
∴B₁A∥面BDC₁
；第二問中，利用建立空間直角坐標系可以設出法向量，利用法向量的夾角求解二面角的平面角的方法得到。
第三問中，利用假設成立，推出不符合線面垂直的情況，得到一個矛盾，進而得到結論。
（1）證明：連接B1C，交BC₁于點O，
則O為B1C的中點，
∵D為AC中點，
∴OD∥B₁A，
又B₁A?平面BDC₁，OD⊆平面BDC₁
∴B₁A∥面BDC1（4分）
（2）解：∵AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁，
∴CC₁⊥面ABC，
則BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC
如圖建系，則C₁（3，0，0），B（0，0，2），D（0，1，0），C（0，0，0）

∴ C₁D =（-3，1，0）， C₁B =（-3，0，2）
設平面C₁DB的法向量為n=（x，y，z）
則n=（2，6，3）
又平面BDC的法向量為 CC₁ =（3，0，0）
∴二面角C₁-BD-C的余弦值：cos＜ CC₁，n＞= (CC₁ .n)/ | CC₁ |，|n| ="2/" 7
（3）不存在
（III）假設側棱AA1上存在一點P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1．
則  CP • C₁B =0  CP • C₁D =0  ，
即 3(y-3)=0
2+3(y-3)=0 ∴方程組無解．∴假設不成立．
∴側棱AA₁上不存在點P，使CP⊥面BDC₁．（14分）