Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦點為F₁（-c，0）、F₂（c，0）（c＞0），焦點F₂到漸近線的距離為

3

，兩條準線之間的距離為1．
（1）求此雙曲線的方程；
（2）若直線y=x+2與雙曲線分別相交于A、B兩點，求線段AB的長；
（3）過雙曲線焦點F₂且與（2）中AB平行的直線與雙曲線分別相交于C、D兩點，若

AB

+

AD

=

AC

，求

1

2

(

OA

•

OD

)tan＜

OA

，

OD

＞的值．

Answer 1

分析：（1）根據雙曲線的焦點在x軸上，由題意，列出關于a，b，c的方程，解得a，b，c．從而寫出雙曲線的方程即可；
（2）應用弦長公式，欲求|AB|，只需求x₁+x₂，x₁x₂的值即可，聯立直線方程與雙曲線方程，利用韋達定理可得．
（3）由雙曲線和平行四邊形ABCD的對稱性，可知A與C、B與D關于原點對稱．而

1

2

(

OA

•

OD

)tan＜

OA

，

OD

＞=

1

2

|AB|×d．結合點到直線的距離公式即可求解．

解答：解：（1）∵焦點F₂（c，0）到漸近線bx±ay=0的距離為

3

，兩條準線之間的距離為1，
∴

d= bc a2+b2 =b= 3 2a2 c =1

⇒

a=1 b= 3 c=2.

∴雙曲線的方程為x²-

y2

3

=1．
（2）由題意設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
由

y=x+2 x2- y2 3 =1

⇒2x2-4x-7=0
∴|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+1

×

72

2

=6．
（3）由雙曲線和平行四邊形ABCD的對稱性，可知A與C、B與D關于原點對稱．
而

1

2

(

OA

•

OD

)tan＜

OA

，

OD

＞=

1

2

(|

OA

|•|

OD

|cos＜

OA

，

OD

＞)tan＜

OA

，

OD

＞
=

1

2

|

OA

|•|

OD

|sin＜

OA

，

OD

＞=S△AOD=S△AOB=

1

2

|AB|×d．
∵點O到直線y=x+2的距離d=

2

2

=

2

，
∴S_△AOB=

1

2

|AB|×d=3

2

．
∴

1

2

(

OA

•

OD

)tan＜

OA

，

OD

＞=3

2

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．