Question

【題目】在四面體中， 分別是的中點．則下述結論：

①四面體的體積為；

②異面直線所成角的正弦值為；

③四面體外接球的表面積為；

④若用一個與直線垂直，且與四面體的每個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為．

其中正確的有_____．（填寫所有正確結論的編號）

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

補圖成長方體，在長方體中利用割補法求四面體的體積，和外接球的表面積，以及異面直線的夾角，作出截面即可計算截面面積的最值.

根據四面體特征，可以補圖成長方體設其邊長為，

，解得

補成長，寬，高分別為的長方體，在長方體中：

①四面體的體積為，故正確

②異面直線所成角的正弦值等價于邊長為的矩形的對角線夾角正弦值，可得正弦值為，故錯；

③四面體外接球就是長方體的外接球，半徑，其表面積為，故正確；

④由于，故截面為平行四邊形，可得，

設異面直線與所成的角為，則，算得，

．故正確．

故答案為：①③④．