Question

【題目】函數(shù)f（x），若關(guān)于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（ ）

A.B.（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）

C.（﹣∞，﹣1）∪{1}D.（﹣1，0）∪{1}

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用的導(dǎo)函數(shù)判斷出的單調(diào)區(qū)間，由此畫出的大致圖像，令，對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合的圖像以及方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根列不等式，解不等式求得的取值范圍.

當(dāng)x≥0時(shí)，，

所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，

且f（0）＝0，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→0，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）的圖象如圖所示：

令t＝f（x），則由上圖可知當(dāng)t＝0或1時(shí)，方程t＝f（x）有兩個(gè)實(shí)根；

當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，方程t＝f（x）有3個(gè)實(shí)數(shù)根；

當(dāng)t∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）時(shí)，方程t＝f（x）有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以關(guān)于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)根

等價(jià)于關(guān)于t的方程t2﹣at+a﹣a2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根t1＝0，t2＝1或t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），

當(dāng)t1＝0，t2＝1時(shí)，a＝1，

當(dāng)t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）時(shí)，（02﹣a×0+a﹣a2）（12﹣a×1+a﹣a2）＜0，解得﹣1＜a＜0，

綜上所述，a∈（﹣1，0）∪{1}.

故選：D.