Question

【題目】已知函數f（x）＝x3﹣ax2+bx+c（a，b，c∈R）．

（1）若函數f（x）在x＝﹣1和x＝3處取得極值，試求a，b的值；

（2）在（1）的條件下，當x∈[﹣2，6]時，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）； （2）(－∞，－18)∪(54，＋∞).

【解析】

(1)根據函數的極值的概念得到方程組解出參數值即可；（2）對函數求導得到函數的單調性和極值，進而得到函數的最大值為c＋54，要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可.

(1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，

∵函數f(x)在x＝－1和x＝3處取得極值，

∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的兩根．

∴ ∴.

經檢驗滿足題意.

(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，

f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.

當x變化時，f′(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：

而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，

∴當x∈[－2,6]時，f(x)的最大值為c＋54，

要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，

當c≥0時，c＋54<2c，∴c>54 ，

當c<0時，c＋54<－2c，∴c<－18.

∴c∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即為實數c的取值范圍．