Question

【題目】已知函數f（x）對任意實數x，y均有f（x）=f（ ）+f（ ）．當x＞0時，f（x）＞0
（1）判斷函數f（x）在R上的單調性并證明；
（2）設函數g（x）與函數f（x）的奇偶性相同，當x≥0時，g（x）=|x﹣m|﹣m（m＞0），若對任意x∈R，不等式g（x﹣1）≤g（x）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：函數f（x）對任意實數x，y均有f（x）=f（ ）+f（ ），令x=y=0，可得f（0）=0．設x1＞x2，令x=x1，y=x2，

則 ，

可得：則 ，即 ＞0．

∴函數f（x）在R上是單調增函數．

（2）解：令x=0，y=2x，

可得：f（0）=0=f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）=﹣f（x）．

∴f（x）是奇函數，故得g（x）也是奇函數．

當x≥0時，g（x）=|x﹣m|﹣m（m＞0），

即g（x）=

當x＜0時，g（x）的最大值為m．

對任意x∈R，不等式g（x﹣1）≤g（x）恒成立，

只需要：1≥3m﹣（﹣2m），

解得： ．

∵m＞0

故得實數m的取值范圍是（0， ]．

【解析】（1）函數f（x）對任意實數x，y均有f（x）=f（ ）+f（ ），令x=y=0，可得f（0）=0．設x1＞x2，令x=x1，y=x2，帶入f（x）=f（ ）+f（ ）．利用x＞0時，f（x）＞0，可判斷單調性．（2）求解f（x）的奇偶性，可得g（x）的奇偶性，x≥0時，g（x）=|x﹣m|﹣m（m＞0），利用奇偶性求g（x）的解析式，判斷單調性，從而求解不等式g（x﹣1）≤g（x）恒成立時實數m的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的函數的奇偶性，需要了解偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱才能得出正確答案．