Question

【題目】如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，E，F，N分別為A1B1 ， B1C1 ， C1D1 ， D1A1的中點，求證：
（1）E，F，D，B四點共面；
（2）面AMN∥平面EFDB．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵E，E分別是B1C1，C1D1的中點，

∴EF∥B1D1，

∵B1D1∥BD，∴EF∥BD，

∴E，F，B，D，四點共面．

（2）證明：∵M，N分別是A1B1，D1A1的中點，

∴MN∥B1D1，

∵EF∥B1D1，∴MN∥EF，

∵F，N分別是D1C1、A1B1的中點，

∴NF A1D1，

∵ ，∴NF AC，

∴四邊形NFCA是平行四邊形，

∴AN∥CF，

∵MN∩AN=N，EF∩DF=F，

∴面MAN∥面EFDB．

【解析】（1）由E，E分別是B1C1 ， C1D的中點，知EF∥B1D1 ， 從而得到EF∥BD，由此能證明E，F，B，D，四點共面．（2）由題設條件推導出MN∥EF，AN∥CF，由此能夠證明面MAN∥面EFDB．
【考點精析】本題主要考查了平面的基本性質及推論和直線與平面平行的性質的相關知識點，需要掌握如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內;過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面;如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線；一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行才能正確解答此題．