Question

【題目】若函數f（x）滿足對任意的兩個不相等的正數x1 ， x2 ， 下列三個式子：f（x1﹣x2）+f（x2﹣x1）=0，（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＜0，f（ ）＞ 都恒成立，則f（x）可能是（ ）
A.f（x）=
B.f（x）=﹣x2
C.f（x）=﹣tanx
D.f（x）=|sinx|

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵函數f（x）滿足對任意的兩個不相等的正數x1，x2，

f（x1﹣x2）+f（x2﹣x1）=0，（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＜0，

∴f（x）是奇函數，且在（0，+∞）上是減函數，

∴選項B和選項D不成立，

∵f（ ）＞ ，

在A中，f（x）= ，

f（ ）= ， = = ，

∵（x1+x2）2= ＞4x1x2，

∴f（ ）＞ ，故A成立；

在C中，f（x）=﹣tanx，

f（ ）=﹣tan ， = =﹣ （tanx1+tanx2），

取 ，x2= ，得f（ ）=f（ ）=﹣tan =﹣1，

= =﹣ （tanx1+tanx2）=﹣1，

此時，f（ ）= ，故C不成立．

故選：A．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的值的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握函數值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法．