Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=3，且3S₁，2S₂，S₃成等差數(shù)列
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，求T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由題意可得q的方程，解方程可得q，可得通項(xiàng)公式；
（2）由（1）b_n=nlog₂3，由等差數(shù)列的求和公式可得．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
又∵a₁=3，且3S₁，2S₂，S₃成等差數(shù)列，
∴4（3+3q）=3×3+3+3q+3q²，
解得q=3，或q=0（舍去）
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3×3^n-1=3ⁿ；
（2）由（1）b_n=log₂a_n=nlog₂3，
∴數(shù)列{b_n}為公差為log₂3的等差數(shù)列，
∴T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=-2log₂3（b₂+b₄+…+b_2n）
=-2log₂3

n(2log23+2nlog23)

2

=-2n（n+1）log²₂3

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列，涉及求和公式，屬基礎(chǔ)題．