Question

各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，已知點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數y=3x的圖象上，且S₃=26．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）在a_n與a_n+1之間插入n個數，使這n+2個數組成公差為d_n的等差數列，求數列{

1

dn

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n+1=3a_n，從而

a1(1-33)

1-3

=26，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由a_n=2×3^n-1，a_n+1=2×3ⁿ，得d_n=

4×3n-1

n+1

，由此利用錯位相減法能求出數列{

1

dn

}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數y=3x的圖象上，
∴a_n+1=3a_n，
∵各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，且S₃=26，
∴

a1(1-33)

1-3

=26，解得a₁=2，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2•3^n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2×3^n-1，a_n+1=2×3ⁿ，
∵a_n+1=a_n+（n+1）d_n，
∴d_n=

4×3n-1

n+1

，
∴T_n=

1

d1

+

1

d2

+…+

1

dn

=

2

4×30

+

3

4×3

+

4

4×32

+…+

n+1

4×3n-1

，①

1

3

Tn=

2

4×3

+

3

4×32

+

4

4×33

+…+

n+1

4×3n

，②
①-②，得：

2

3

Tn=

2

4×30

+

1

4×3

+

1

4×32

+

1

4×33

+…+

1

4×3n-1

-

n+1

4×3n

=

1

2

+

1

4

×

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+1

4×3n

=

5

8

-

2n+5

8×3n

，
∴T_n=

15

16

-

3(2n+5)

16×3n

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的計算和等比數列的綜合運用，解題時要注意錯位相減法的合理運用．