Question

【題目】已知函數f（x）對一切x，y∈R都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）已知a∈R，設P：當 時，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，Q：當x∈[﹣2，2]時，g（x）=f（x）﹣ax是單調函數，如果記使P成立的實數a的取值的集合為A，使Q成立的實數a的取值的集合為B，求A∩RB．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1），f（1）=0，取x=﹣1，y=1得f（0）﹣f（1）=﹣（﹣1+2+1），f（0）=﹣2
（2）解：取y=0，得f（x）﹣f（0）=x（x+1），故f（x）=x2+x﹣2
（3）解：（i）當 時，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，即x2﹣x+1＜a恒成立

記h（x）=x2﹣x+1，對稱軸 ，h（x）max=h（0）=1，

所以a＞1，即A=（1，+∞）

（ii）g（x）=x2+（1﹣a）x﹣2，對稱軸： ，

由于x∈[﹣2，2]時，g（x）是單調函數，所以

即A=（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞），所以CRB=（﹣3，5），A∩CRB=（1，5）

【解析】（1）令x=﹣1，y=1，利用f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1），即可求得f（0）的值；（2）令y=0，則f（x）﹣f（0）=x（x+1），結合f（0）=﹣2，可求f（x）的解析式；（3）不等式f（x）+3＜2x+a，即x2+x﹣2+3＜2x+a，即x2﹣x+1＜a，從而可得A，根據g（x）在[﹣2，2]上是單調函數，可求B，從而可求A∩CRB．