Question

定義域為R的函數f（x）對于任意的x都存在實數a，b，使得f（a+x）f（b-x）=ab，則稱f（x）為“希望函數”．
（1）判斷函數f（x）=e

x

2

是否為“希望函數”；
（2）若函數f（x）=k•e^x（k≠0）是“希望函數”，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：計算題,新定義,函數的性質及應用

分析：（1）由新定義，只要判斷方程e

a+b

2

=e

a

2

•e

b

2

=ab有沒有實數解，可由y=e

x

2

-x的最值，通過導數，求出單調區間，得到極值和最值，即可判斷；
（2）由新定義，可得k•e^a+x•k•e^b-x=ab，即為k²•e^a+b=ab有解，求出y=e^x-x-1的最小值，得到e^x≥x+1＞x，運用不等式的性質，可得ab≥k²•ab，由ab＞0，解不等式即可得到k的范圍．

解答： 解：（1）由于f（a+x）f（b-x）=e

a+x

2

•e

b-x

2

=e

a+b

2

=e

a

2

•e

b

2

，
由于y=e

x

2

-x的導數y′=

1

2

e

x

2

-1，當x＞2ln2時，y′＞0，函數y遞增；
當x＜2ln2時，y′＜0，函數y遞減．
則函數y=e

x

2

是在x=2ln2處取得極小值，也為最小值，且為2-2ln2＞0，
即有e

x

2

＞x恒成立，則e

a

2

＞a，e

b

2

＞b，
則方程e

a+b

2

=e

a

2

•e

b

2

=ab無實數解，
故函數f（x）=e

x

2

不為“希望函數”；
（2）f（x）=k•e^x（k≠0）是“希望函數”，則
對于任意的x都存在實數a，b，使得f（a+x）f（b-x）=ab，
即為k•e^a+x•k•e^b-x=ab，即為k²•e^a+b=ab有解，
由于y=e^x-x-1的導數為y′=e^x-1，當x＞0時，y′＞0，函數y遞增；
當x＜0時，y′＜0，函數y遞減．
則函數y在x=0處取得極小值，也為最小值，且為0．
即有e^x≥x+1＞x，則有k²•e^ae^b≥k²•ab，
則有ab≥k²•ab，由ab＞0，即為k²≤1，
解得，-1≤k≤1．
則實數k的取值范圍是[-1，1]．

點評：本題考查新定義的理解和運用，考查函數的導數的運用：求極值和最值，考查函數與方程的關系，考查運算能力，屬于中檔題．